Thèse Année : 2024

Implicit Finite Volume schemes for hypersonic steady state flows

Schémas Volumes Finis implicites linéarisés pour la simulation d’écoulements hypersoniques stationnaires

Benoît Cossart
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1511950
  • IdRef : 283339578

Résumé

Research into hypersonic vehicles is experiencing a revival of interest, largely supported by advances in computing performance, enabling the simulation of complex hypersonic flows. In the case of continuous regimes, the Navier-Stokes equations, derived from the conservation laws, are commonly used. Finite Volumes method is classically used for integration in space, and to approximate integration in time, linearised implicit methods produce a linear system. They are more suitable than explicit methods because they offer a better compromise between robustness and computational cost for flows comprising physical phenomena with very different characteristic times, which is the case for hypersonic flows. Characterising the stability of these methods is difficult, particularly when they are applied to systems of conservation laws. In this context, this thesis aims to provide elements for analysing the stability of these schemes in order to make them more robust and suitable for unstructured meshes. Among stability analysis methods, von Neumann analysis can be used on linear scalar equations. In the first part of this thesis, it is proposed to extend this analysis method to the non-linear, monodimensional Burgers’ scalar equation. Then, the analysis is extended to the Euler system of 1D and 2D conservation laws by formulating additional hypotheses. In particular, this work highlights a constraint for the design of implicit schemes that are more robust and stable than the scheme used, for example, by H.C. Yee, A. Harten and R.F. Warming (Journal of Computational Physics, 57(3):327-360, 1985). To obtain an implicit scheme satisfying this constraint, the hyperbolic structure of the system is exploited by linearisation of the Roe numerical scheme. In a second step, the alternative implicit scheme thus obtained is extended to other Finite Volumes schemes included in the the right hand side by an additional linear analysis. This analysis reveals a new stability constraint linking the numerical diffusion applied to the matrix of the linear system to that applied to the right hand side. A matrix correction linked to this constraint is proposed and numerically validated. Finally, another part of the thesis proposes a reformulation of the equations into physical flux to improve the efficiency of the resolution of the linear system derived from the implicit schemes.
Les recherches sur les véhicules hypersoniques connaissent un regain d’intérêt, largement soutenu par les progrès en matière de performance de calcul, permettant la simulation d’écoulements hypersoniques complexes. Dans le cas des régimes continus, les équations de Navier-Stokes, issues des lois de conservation, sont communément employées. La méthode des Volumes Finis est classiquement utilisée pour l’intégration en espace, et pour approcher l’intégration temporelle, les méthodes implicites linéarisées produisent un système linéaire. Elles sont plus adaptées que les méthodes explicites car elles offrent un meilleur compromis entre robustesse et coût de calcul sur des écoulements comprenant des phénomènes physiques aux temps caractéristiques très différents, ce qui est le cas des écoulements hypersoniques. La caractérisation de la stabilité de ces méthodes est difficile à appréhender, notamment lors de leur application sur des systèmes de lois de conservation. Dans ce contexte, cette thèse vise à apporter des éléments d’analyse quant à la stabilité de ces schémas pour les rendre plus robustes et adaptés aux maillages non structurés. Parmi les méthodes d’analyse de stabilité, l’analyse de von Neumann est utilisable sur les équations scalaires linéaires. Dans la première partie de cette thèse, il est proposé d’étendre cette méthode d’analyse à l’équation scalaire non linéaire et monodimmensionnelle de Burgers puis au système de lois de conservation d’Euler 1D et 2D en formulant des hypothèses additionnelles. Ce travail permet notamment de mettre en lumière une contrainte pour la construction de schémas implicites plus robustes et plus stables que le schéma employé par exemple par H.C. Yee, A. Harten et R.F. Warming (Journal of Computational Physics, 57(3) : 327–360, 1985). Pour obtenir un schéma implicite satisfaisant cette contrainte, la structure hyperbolique du système est exploitée par linéarisation du schéma numérique de Roe. Dans un second temps, le schéma implicite alternatif ainsi obtenu est étendu à d’autres schémas numériques Volumes Finis au second membre par une analyse linéaire supplémentaire. Cette analyse permet d’exhiber une nouvelle contrainte de stabilité liant la diffusion numérique appliquée à la matrice du système linéaire à celle appliquée au second membre. Une correction matricielle liée à cette contrainte est proposée et numériquement validée. Enfin, une autre partie de la thèse propose une reformulation des équations en flux physiques pour améliorer l’efficacité de la résolution du système linéaire issu des schémas implicites.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04963649 , version 1 (24-02-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04963649 , version 1

Citer

Benoît Cossart. Schémas Volumes Finis implicites linéarisés pour la simulation d’écoulements hypersoniques stationnaires. Analyse numérique [math.NA]. Université de Bordeaux, 2024. Français. ⟨NNT : 2024BORD0272⟩. ⟨tel-04963649⟩
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